문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 갈루아 이론 (문단 편집) === 유한체 === 유한체 [math(k)]를 하나 생각하자. 그러면 이것의 유한 확대를 [math(\ell)]이라고 하고 이것의 차수를 [math(n)]라고 하자. [math(k)]의 원소의 갯수가 [math(q)]일 때 [math(\ell)]의 모든 원소들은 다음과 같은 다항식 [math(f\in k[x])]의 근이 된다. [math( f(x)=x^{q^n}-x)] 이는 [math(\ell)]에서 0을 뺀 [math(\ell^{\times})]가 위수가 [math(q^n-1)]인 군이라서 그런다. 이를 다시 말하면 [math(\ell)]는 [math(f)]에 의한 [math(k)]의 분해체라는 것이며 따라서 [math(k)]의 차수가 [math(n)]인 모든 확대체는 서로 동형이라는 것이다. 그리고 유한체는 [math(k)]의 표수가 [math(p)]라면 다음과 같은 체 준동형사상 [math(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_p\to k)] 가 존재하므로 모든 유한체는 적당한 소수 [math(p)]가 있어서 [math(q=p^m)]를 원소의 갯수로 갖고 이런 원소의 갯수를 갖는 유한체는 유일함을 알 수 있다. 이제 원소의 갯수가 [math(q=p^m)]인 유한체를 [math(\mathbb{F}_{q})]라고 쓰자. 우리는 다음으로 넘어가기 전에 다음 정리를 보자. > 모든 체 [math(K)]에 대해서 [math(K^{\times})]의 유한군 [math(G)]는 순환군이다. 이것의 증명은 [math(G)]의 위수를 [math(q)]라고 하면 적당한 [math(d_1,\cdots,d_m)]가 있어서 [math(d_1|d_2|\cdots|d_m|q)]고 [math(G=\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \cdots\times \mathbb{Z}/d_m\mathbb{Z})]가 되는데, 그러면 [math(G)]의 모든 원소는 [math(f(x)=x^{d_m}-x\in K[x])]의 근이 된다. 왜냐하면 [math(d_i|d_m)] for all [math(i\le m)]이기 때문이다. 그런데 그러면 [math(x^{d_m}-x)]의 근의 갯수는 [math(d_m)]개 이하이므로 [math(d_m\le q\le d_m)]가 되고 [math(q=d_m)], [math(m=1)]을 얻는다. 따라서 [math(G)]는 순환군이다. 이제 차수가 [math(n)]인 유한체의 확대 [math(k/\mathbb{F}_q)]를 생각하고, 이것의 갈루아 군을 구해보자. 그보다 먼저 이것이 갈루아 확대인지 확인해야 하는데, 이것은 분리 확대고 위에서 보았듯이 [math(f(x)=x^{q^n}-x)]에 의한 [math(\mathbb{F}_q)]의 분해체이므로 정규 확대가 된다. 따라서 갈루아 확대고 갈루아 군이 있다. 그 갈루아 군의 위수는 [math(n)]를 넘을 수 없으며 다음과 같은 체 동형사상을 생각하자. [math(\mathrm{Fr}_q:k\to k,\mathrm{Fr}_q(x)=x^q)] 이는 [math(\mathrm{Fr}^n_q=\mathrm{id})]이므로 체 동형사상이고, 덤으로 [math(k^{\times})]는 순환군이므로 [math(m저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기